HTML與數學應用的拋物線模擬與實作

 隨著全球數位化浪潮席捲各行各業，教育領域也不斷創新，108課綱更是強調「跨領域學習」與「自主探究」，鼓勵學生從多角度、多層面認識知識。現今的教育不再侷限於傳統的書本與講解，而是透過結合資訊科技、數學、物理、工程及美學等多領域知識，培養學生解決複雜問題的能力與創新思考精神。HTML作為網頁設計的基礎語言，不僅能讓學生學習程式設計，更能作為數學教學的重要輔助工具，幫助學生將抽象的數學公式轉化為生動的視覺互動體驗。🚀

💡 HTML與數學應用的實作意義

在傳統數學課堂上，學生面對的是大量符號、公式和定理，例如拋物線運動的公式：
  x = x₀ + v₀ₓ·t
  y = y₀ + v₀ᵧ·t + (1/2)·g·t²
這些公式雖然嚴謹，但對許多學生來說過於抽象，難以從中感受到現實生活中的應用意義。透過HTML與JavaScript的結合，我們可以設計一個互動式拋物線模擬遊戲，讓學生只需輸入初速、角度等參數，就能直觀地看到砲彈的飛行軌跡。這種從理論到實作的轉換，能夠幫助學生更深入地理解數學模型與物理現象之間的密切聯繫。🎯

在這個模擬遊戲中，學生會學習到如何根據「1m＝10px」的比例將真實世界的物理數據轉換成網頁上的視覺呈現，從而驗證理論計算與模擬結果是否一致。這不僅增進了學生對數學公式的理解，同時也讓他們體會到模型化思維在日常生活中的應用價值。透過這樣的實作，學生不再僅僅停留在被動接受知識，而是變成主動探索與實際操作的學習者。💡

🎮 拋物線模擬與實際操作

以拋體運動為例，HTML模擬網頁能夠讓學生實際操作參數，觀察不同初速和角度下砲彈的飛行軌跡。舉例來說，若設定初速20 m/s和角度30°，理論上水平射程可用公式
  R = (v₀²·sin(2θ))/g
計算得出約35.37公尺；若採用1m＝10px的比例，則對應約353.7px。學生可以透過按鈕選擇不同角度（例如30°、45°、60°），並即時觀察砲彈落點的變化。這種互動式學習不僅讓數學變得更具體、直觀，也讓學生能夠透過反覆實驗，自行發現不同參數如何影響飛行軌跡，從而鞏固其對拋體運動基本原理的認識。📈

同時，在設計這類模擬遊戲時，學生必須動手編寫、修改HTML與JavaScript程式碼，這過程中需要運用數學邏輯來計算比例換算、時間與距離的關係，甚至還可能涉及到座標轉換、碰撞偵測等數學應用。這些實作經驗使得理論與實作不再割裂，而是相輔相成，進一步培養學生的跨領域整合能力。🤖

See the Pen HTML設計砲台發射拋物線遊戲 by 01 Scratchinai (@01-Scratchinai) on CodePen.

🌟 數位美學與創新設計

除了數學公式與物理運動外，HTML網頁設計還結合了美學與創意。學生在設計網頁的過程中，不僅要正確呈現數據，更需考慮介面的排版、色彩搭配及使用者體驗。這就要求學生同時具備數學邏輯與美學審美能力。在設計互動模擬系統時，透過加入emoji圖示、動畫效果等，能讓數學學習充滿趣味，激發學生對學科的興趣。學生在設計中會發現，良好的介面不僅能提高學習效果，也能促進團隊合作與創意交流，這正符合108課綱所強調的多元發展與創新精神。🎨

🔍 探究、反思與持續進步

在108課綱的理念中，探究學習始終佔有重要地位。透過HTML與數學模擬，學生不僅學會了如何將數學知識應用於實際案例，還能從中提出疑問並進行反思。例如，當學生觀察到不同角度下砲彈的飛行軌跡差異時，便會好奇：為何角度改變會導致射程不同？重力在其中扮演了什麼角色？透過自主探究與實驗，學生能夠進一步查證、討論，甚至設計改進方案，從而在實踐中培養出批判性思維與創新能力。這種學習方式，使知識不再是靜態的記憶，而是動態的探索過程。🤔

此外，利用網頁設計進行數學模擬，還可以讓學生在班級中進行小組合作，分工合作完成專題製作，從程式編寫、數據分析到介面設計，每個環節都需要團隊合作與溝通協調。這樣的跨領域實作，不僅豐富了課堂內容，更使學生體會到在現代社會中，多元技能整合的重要性。💪

🚀 未來展望與結語

總結而言，108課綱下利用HTML輔助數學教學，不僅使得抽象的數學理論得以具象化，還促使學生主動動手、實際操作，進而培養跨領域整合與創新解決問題的能力。從拋物線模擬遊戲的設計到介面美學的應用，每一個環節都展現了數位科技在現代教學中的巨大潛力。學生在這個過程中，不僅能學到數學與物理知識，更能掌握程式設計、數據分析以及美學設計等多項技能，這些能力將成為他們未來進入多元社會的重要競爭力。🌟

HTML作為一項簡單而強大的工具，其開放性與靈活性使得任何人都能輕鬆上手並創造出屬於自己的學習平台。未來，我們期望看到更多跨領域的教學實踐，讓學生從中發現數學的美妙與無窮可能，並在不斷的探索與實作中，成為具備創新精神與解決複雜問題能力的全方位人才。這正是108課綱所期許的教育願景，也是現代教育改革的重要方向。🚀

透過這樣的實踐與探究，不僅能促使學生對數學產生濃厚興趣，更能在跨領域學習中培養他們的邏輯思維、創新能力及團隊合作精神，為未來的學習與生活打下堅實的基礎。學以致用、創意無限，這正是108課綱與HTML教學結合所帶來的嶄新啟示。

學習單 1：拋物線運動計算練習 📐

目標：
透過公式計算，讓學生了解拋體運動中初速、角度與重力的關係，並學會進行單位換算。

任務內容：

1. 公式回顧：
   拋體運動水平射程公式：

   $$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

   其中：

   • $v_0$ 為初速（m/s）
   • $\theta$ 為發射角度（°）
   • $g = 9.8\,\text{m/s}^2$ 為重力加速度
   • $\sin(2\theta)$ 為角度倍角的正弦值

2. 計算題目：
   請依據下列條件計算水平射程（結果以公尺表示），並將結果依照比例換算成像素（1 m = 10 px）：

   • (a) 初速 20 m/s、角度 30°
   • (b) 初速 20 m/s、角度 45°
   • (c) 初速 20 m/s、角度 60°

3. 計算步驟：

   • 寫出公式，計算 $\sin(2\theta)$ 的值
   • 代入 $v_0$ 與 $g$ 進行運算
   • 得到理論射程 $R$（單位：公尺），再乘以10換算成像素

4. 延伸問題：
   請思考：若發射點與落地點高度不同（例如從高處發射），其射程公式會如何調整？試著寫出新的公式並討論其應用情境。

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學習單 2：HTML拋物線模擬遊戲中的數學模型探究 🔍

目標：
透過閱讀與分析HTML/JavaScript遊戲程式碼，讓學生理解如何將數學公式轉化為程式邏輯，並探討各參數在模擬中的應用。

任務內容：

1. 程式碼解析：
   請閱讀提供的拋物線模擬遊戲程式碼，特別注意以下部分：

   • 拋體運動公式在程式中的應用： $$x = x_0 + v_{0x} \times t,\quad y = y_0 + v_{0y} \times t + \frac{1}{2} \times g \times t^2$$
   • 1m = 10px 的比例換算設定
   • 為何在計算y軸位置時，初速度取負值（考量canvas中y軸向下為正）
   • 落地判斷：當小球下緣（ball.y + ball.radius）大於或等於地平線（groundY）且飛行時間達到0.5秒後觸發爆炸效果

2. 問題討論：
   請回答下列問題：

   • (a) 為何必須將初速度中的y分量取負？
   • (b) 在程式中如何利用比例設定（1 m = 10 px）將真實世界的距離轉換為畫布上的像素？
   • (c) 如果希望修改爆炸觸發條件為「落地後馬上爆炸」，應該如何更改程式邏輯？
   • (d) 說明如何根據程式碼計算出拋體的落地位置。

3. 延伸思考：
   請思考並寫下你認為在此模擬遊戲中，還可以加入哪些數學或物理參數來豐富學習內容？例如：風阻、彈道曲線修正等，並簡述其可能的應用方式。

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學習單 3：創意設計—打造你的拋物線模擬遊戲 🎮

目標：
鼓勵學生運用所學HTML、JavaScript與數學知識，進行跨領域創意設計，打造一個屬於自己的拋物線模擬遊戲，並撰寫簡短教案分享設計理念。

任務內容：

1. 設計與修改：

   • 請參考提供的拋物線模擬遊戲程式碼，嘗試修改或擴充遊戲內容。
   • 可加入新的按鈕或控制項，例如：
     • 調整砲台顏色或背景色
     • 增加顯示拋物線軌跡的功能
     • 當砲彈落地後顯示不同的emoji，根據射程不同呈現不同效果
   • 利用所學的拋體運動公式，設計一個功能：根據使用者設定的初速與角度，計算理論射程並在遊戲中顯示出來。

2. 創意思考：

   • 請撰寫一份簡短的設計理念，內容包括：
     • 你希望這個遊戲達到什麼樣的學習效果？
     • 你認為哪些數學概念在遊戲中最具挑戰性？
     • 如何透過互動設計激發學生的探究精神？
   • 可加入手繪草圖或流程圖，說明遊戲介面與功能設計的邏輯。

3. 實作與分享：

   • 完成遊戲設計後，請在班上進行展示，分享你如何運用HTML與數學公式進行實作，並回答同學的問題。
   • 討論過程中，請記錄下同學們的反饋與改進建議，作為後續修改遊戲的參考。

延伸任務：

• 將你的遊戲功能與設計理念整理成一份教案，內容需包含目標、步驟、評量方式及反思建議，並於班上進行小組分享。這份教案將作為跨領域學習的參考資料，幫助其他同學了解如何整合數學與程式設計。

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這三張學習單分別從理論計算、程式碼解析與創意設計三個面向，幫助學生在108課綱下，透過實作與探究的方式全面掌握拋體運動及HTML應用，不僅加深對數學模型的理解，更促進跨領域知識整合與創新能力。每一份學習單均設計了延伸問題與探究任務，鼓勵學生在實際操作中發現問題、討論並提出創意解決方案，從而實現「學以致用」的教育目標。

HTML與數學應用的拋物線模擬探究與實作

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根據拋體運動理論，若發射點與落地點高度相同 (h = 0)，水平射程可由公式

R = (v₀² × sin(2θ)) / g

計算，其中：

v₀ = 20 m/s
θ = 30°（因此 2θ = 60°）
g = 9.8 m/s²
sin(60°) ≈ 0.8660

代入公式得：

R = (20² × 0.8660) / 9.8
= (400 × 0.8660) / 9.8
≈ 346.4 / 9.8
≈ 35.37 m

因此，砲彈將落在距離發射點約 35.37 公尺處。

【探究與建構知識階段 – Exploration & Construction】

目標：

使學生深入理解拋物線運動的數學公式與物理原理。
探討如何將實際數據（例如初速、角度、重力加速度）依比例（如1m＝10px）轉換為網頁上的視覺呈現。
建構 HTML 與 JavaScript 程式碼與數學模型之間的邏輯連結。

策略與活動：

概念講解與公式推導：教師詳細介紹拋體運動公式，如

x = x₀ + v₀ₓ·t
y = y₀ + v₀ᵧ·t + (1/2)·g·t²

從數學一元二次方程的角度來看，我們可以將拋體運動中的兩個公式分別理解：

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【水平運動：線性關係】
x = x₀ + v₀ₓ·t

這個公式描述了物體在水平方向上的運動，其中：
• x₀ 為初始水平位置
• v₀ₓ 為水平方向的初速度
• t 為時間

由於該公式僅含一次 t，故它是一個線性方程，表示物體水平位置隨時間均勻變化。

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【垂直運動：一元二次方程】
y = y₀ + v₀ᵧ·t + (1/2)·g·t²

這個公式描述了物體在垂直方向上的運動，其形式與一元二次方程完全一致，可以寫成：

y = at² + bt + c
其中：
• a = (1/2)·g
• b = v₀ᵧ
• c = y₀

由於存在 t² 項，因此 y 隨時間 t 的變化呈現出拋物線曲線。這意味著物體在垂直方向上的運動具有加速度（由重力 g 引起），使得物體在上升過程中逐漸減速，達到最高點後再加速下降。

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【頂點與解的意義】

根據二次函數的基本性質，拋物線的頂點（對應最大高度或最小高度）

可由公式：

t_vertex = -b / (2a) 求得。

以拋物線運動為例，如果我們定義向上為正（此時 g 為負值，例如 g = -9.8 m/s²），則當物體上拋時，v₀ᵧ 為正值，拋物線會達到一個最高點，該最高點出現的時間即為 t_vertex。

通過將 t_vertex 代入 y 的公式，可以計算出物體的最大高度。

另外，當我們關心物體落地時的情況（例如 y = 0），

我們可以令：

(1/2)·g·t² + v₀ᵧ·t + y₀ = 0

並利用二次方程求根公式：

t = [ -b ± √(b² - 4ac) ] / (2a)

求得飛行時間。通常，從兩個根中取正的那一個作為飛行的總時間。

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【從一元二次角度的應用與意義】

這種數學解析方法具有重要意義。首先，它使學生能夠從數學的角度理解物體在重力作用下的運動軌跡，從而掌握拋物線的特性。其次，通過計算頂點、求根等過程，學生能夠具體地看到抽象數學模型如何描述現實現象，並進一步理解單變量二次方程在工程、物理等領域中的應用。

此外，將拋體運動的垂直運動視為一個二次函數，有助於學生鞏固對二次函數基本性質的認識，如對稱性、最大值（或最小值）與零點的求法。這種跨領域學習不僅能促進數學知識的整合，也讓學生體會到數學在解釋自然現象時所發揮的核心作用。

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【結語】

總結而言，拋體運動的垂直運動公式 y = y₀ + v₀ᵧ·t + (1/2)·g·t² 可以視為一個一元二次方程，其圖形為拋物線。透過對這個二次方程的分析，學生可以計算出物體的最高點、飛行時間以及落地位置，從而深入理解重力加速度對物體運動的影響。這種從一元二次角度進行的數學解析，不僅加深了對拋物線運動的認識，同時也展示了數學模型在實際應用中的威力，對於培養學生的數學思維與跨領域解決問題的能力具有積極作用。程式碼解析工作坊：
組織學生小組，一起研讀提供的 HTML/JavaScript 程式碼，理解每一段程式碼如何落實數學公式，並探討在 canvas 中，因為 y 軸向下為正，所以上拋速度取負的原因。

AI 學習認知分析應用：
利用 AI 分析工具（例如學習分析平台或簡單的資料視覺化工具），讓學生輸入實驗數據，AI 系統可自動分析各參數對結果的影響，並以圖表呈現學生學習進度與概念掌握情形。這樣不僅能幫助學生及時了解自己對公式的理解狀況，也讓教師根據 AI 提供的數據做出針對性輔導。
小組討論與延伸探究：
學生分組討論如何將拋物線模型延伸到不同情境，例如「如果發射高度不同，射程公式應如何調整？」鼓勵學生利用網路資源與 AI 問答系統進行查詢與驗證，並記錄下討論結果。

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【實作與應用階段 – Application & Practice】

目標：

學生能夠獨立或合作編寫並修改 HTML 與 JavaScript 程式碼，實現拋物線模擬遊戲。
透過跨領域整合，將數學理論、物理公式與資訊科技應用於實際問題解決。

策略與活動：

程式實作工作坊：
教師提供基本範例程式碼作為起點，並指導學生如何根據拋體運動公式進行程式編寫與參數調整。學生依據不同角度（例如30°、45°、60°）設計出遊戲介面，並觀察砲彈落地位置的變化。
分組合作與角色分工：
學生分組後可分工負責數學模型驗證、程式設計與介面美學設計。此過程中，學生學會跨領域合作，並通過 AI 自動回饋系統獲得即時程式錯誤檢查與參數優化建議。
AI 融入的個別輔導：
利用 AI 平台（如自適應學習系統），在學生提交程式碼後，系統可根據學生表現進行數據分析，提供個性化學習建議，幫助學生了解哪些數學公式尚需鞏固、哪些程式設計部分需要改進。
實作成果展示與互評：
每個小組完成後，進行班級展示，由同儕與教師進行評量與回饋，促使學生從展示、討論中進一步反思與改進作品。

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【評估與反思階段 – Assessment & Reflection】

目標：

透過多元評量方式，檢驗學生對拋物線運動與跨領域知識的掌握程度。
讓學生反思學習過程，找出學習中的盲點與未來改進方向，進一步達到自主學習。

策略與活動：

成果展示與同儕評鑑：
學生以小組或個人形式展示互動模擬遊戲，並分享設計理念與程式邏輯。透過同儕互評，促使學生從多角度獲取反饋，並對作品進行持續改進。
書面測驗與學習單：
以問卷或學習單形式，讓學生回答有關拋體運動公式、比例換算、程式邏輯以及 AI 如何協助學習認知分析等問題，全面檢視學生知識掌握情況。
AI 學習認知分析報告：
利用 AI 分析工具，教師可以獲得學生在實作過程中的學習數據，並撰寫學習認知分析報告，指出學生在理解數學模型與程式設計上的共通問題與個別差異。這份報告有助於未來課程設計的調整，並提供學生個性化學習建議。
自我與小組反思：
鼓勵學生撰寫自我反思報告，描述學習過程中的挑戰、成功經驗及未來改進的方向，進一步培養其批判性思維與自我監控能力。

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【AI 融入與學習認知分析】

隨著人工智慧技術在教育領域中的廣泛應用，AI 融入教學成為一大趨勢。在本教學設計中，AI 可從以下幾個層面進行整合與認知分析：

學習數據的自動收集與分析：
透過整合 AI 分析工具，教師可以自動收集學生在程式實作與互動模擬中的操作數據，如程式提交次數、錯誤率、修改記錄與測驗成績。AI 系統能根據這些數據進行學習行為分析，判斷學生在哪些數學概念或程式設計步驟上存在困難，並提供個別化的回饋與輔導建議。
自適應學習平台：
利用 AI 自適應學習系統，可以根據學生的學習進度與認知狀況，動態調整教學內容與難度。當學生在某個環節遇到困難時，系統會自動推送相關練習或補充資源，協助學生鞏固知識，並通過即時測驗驗證學習成效。這種個性化學習策略不僅提高了學習效率，也能增強學生自主學習的動力。
智慧反饋與互動輔助：
教學中可運用 AI 聊天機器人或智慧教學助理，即時回答學生在學習過程中提出的問題。當學生在進行程式編寫或數學運算時遇到疑問，AI 助手能提供即時解答與提示，使學生不因一時卡關而失去學習興趣。此外，AI 還能根據學生的表現，提供有針對性的後續學習建議，促進知識的深層理解。
認知負荷與學習動機的評估：
AI 系統可以通過分析學生在互動學習過程中的行為數據（例如點擊次數、停留時間與錯誤回饋），估計學生的認知負荷與學習動機。教師根據這些數據，可以適時調整教學節奏與活動難度，避免學生因認知負荷過大而產生挫折感，從而更好地激發學習熱情與探索精神。

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【結語】

透過從啟動、探究、實作到評估的多階段設計，加上 AI 融入與學習認知分析的輔助，本課程設計不僅使抽象的數學理論得以生動具象，更促使學生從被動學習轉為主動探索，並在跨領域實作中培養出創新解決問題的能力。從拋物線模擬遊戲的設計、程式編寫到介面美學與互動反饋，每一個環節都強調學以致用與知識的整合，符合108課綱提倡的核心素養與全人發展目標。

利用 AI 分析工具，教師能夠更精確地了解學生在學習過程中的認知狀況，進而調整教學策略，使每位學生都能獲得個別化的學習支援。這種結合數學、資訊科技與人工智慧的跨領域教學模式，不僅為學生未來進入多元社會打下堅實基礎，也為教育改革提供了全新的實踐範例。學以致用、創意無限，正是現代教育追求的目標與未來發展的方向。

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以上分析從教學啟動、探究、實作與評估四個階段，並進一步加入了 AI 融入與學習認知分析的討論，全面闡述如何透過跨領域教學激發學生興趣、鞏固知識並促進創新思考，期望能為教師提供實務參考，並幫助學生在未來面對複雜挑戰時，具備多元技能與解決問題的能力。