遊戲中的數學＿卡牌配對遊戲中的數學概念

以下內容將從「遊戲中的數學」角度，探討如何在這樣的卡牌配對遊戲中融入或延伸數學概念，並提供一些應用示例與想法。希望能幫助你看見遊戲背後可以結合的數學思維與運用。

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一、從洗牌機制看「排列與機率」

洗牌（Shuffle）
在遊戲程式碼中，我們使用了 shuffleArray() 函式，將卡牌陣列重新打亂。實際上，這就涉及到「排列」(Permutation) 的概念：
- 若有 $n$ 張卡牌，所有可能的排列方式有 $n!$ 種。
- 以範例程式碼中 ["A", "A", "B", "B", "C", "C"] 共六張牌為例，理論上洗牌的結果可以有 6! = 720 種排列。不過因為其中有重複值 (A, A, B, B, C, C) 會再稍微減少不同排列的實際數量，但程式仍然可以將整個陣列以等機率進行打亂。
抽牌/翻牌的隨機性
- 每次洗牌後，卡牌在什麼位置出現是隨機的；當玩家嘗試翻牌時，猜中或猜錯都與「機率」息息相關。
- 在不知道卡片位置的情形下，翻到相同卡片的機率會隨著局面進展而改變。這可以引導學生思考「剩下幾張未翻開的卡牌？哪幾張最有可能是配對？」等問題。

二、從配對過程看「記憶策略與期望值」

記憶（Memory）與策略
這個遊戲很大程度仰賴玩家的「記憶能力」與「翻牌順序策略」。當你翻開一張卡牌後，若能記住它的值與位置，下次碰到一樣的卡牌時就能迅速配對，避免浪費翻牌機會。
- 若學生對於遊戲裡的卡牌進行適度的紀錄（如心裡記起來、或設計程式自動偵測），可以利用「資訊分析」與「邏輯推理」的方式找出最短翻牌次數。
期望值（Expected Value）
可以進一步探討：在完全不知道卡片位置的情況下，預期要完成所有配對需要翻幾次牌？這牽涉到「隨機試驗」與「期望值」的概念。
- 在無記憶、純隨機的情況下，你可能要翻很多次才碰巧翻到配對卡。
- 若玩家能運用記憶策略，期望翻牌次數會明顯降低。

三、如何將更多數學概念融入遊戲？

卡牌內容與數學題目結合
- 將卡牌上的符號改為「相同的數學解答」。例如：
  - 一張卡牌顯示算式 $6 \times 4$ ，另一張卡牌顯示計算結果 $24$ ；翻到此組卡片才算配對成功。
- 將簡單的算術、代數題或圖形符號配對，增加遊戲中「一邊算、一邊找相同結果」的挑戰性。
遊戲分數與計時
- 設計成在一定時間內完成配對，或者限定翻牌次數。
- 可以記錄玩家在多少秒內完成、翻了幾次牌、目前排名第幾等，這些都可以再和「統計(Statistics)」概念結合，做出排行榜或平均成績分析。
高階延伸：組合數與最佳策略
- 讓學生思考：如果卡牌數量更多時，最好的策略會是什麼？
- 可以利用樹狀結構、機率樹或蒙地卡羅法(Monte Carlo)來模擬、分析不同策略的勝率或期望翻牌次數，從而延伸到程式模擬、統計分析等進階主題。

四、範例延伸：以「數學配對」為主題

以下示範如何把「卡牌文字 = ?」改成數學運算配對：

範例卡片：
- [" $3+4$ ", "7", " $8-2$ ", "6", " $5\times 2$ ", "10"]
  其中有三組相互對應的算式與答案。
程式修改：
- 生成卡牌時，依然隨機打亂順序，但卡牌的 data("value") 存放的可不僅是 A、B、C，也可以是一個物件，例如：
```
// 改成一個物件，包含題目與答案
let cardPairs = [
  { question: "3+4", answer: 7 },
  { question: "8-2", answer: 6 },
  { question: "5×2", answer: 10 }
];
```
  然後再把它們各自拆成兩種卡：一種放「question」，另一種放「answer」，再組合進陣列洗牌。
- 當玩家翻開兩張卡牌時，比較的是「question 與 answer 是否對應」，而非單純的字面是否相同。
教學意義：
- 學生在玩配對遊戲的過程中，必須先看懂題目（例如「3+4」）並知道它等於 7，才知道哪一張卡是正確配對。
- 在此過程中，也需要一定的記憶力與快速心算、邏輯判斷，較單純文字/圖示的配對更有教育意義。

五、課堂/自學應用建議

團隊合作與競賽
- 可以讓兩位或多位學生輪流翻牌，若配對成功就可以繼續翻，失敗換下一位，以此進行小型比賽。
- 用遊戲方式提升學習興趣，並在翻牌後的「為什麼是這個答案」討論中建立數學溝通力。
客製化主題
- 國小階段可加入加減法或簡單幾何圖形配對；
- 國中階段可以增加代數式、一次方程、因數分解或單位轉換題型；
- 在更高階的情境中，也可以將幾何圖形對應面積或三角函數等。
融入 108 課綱素養
- 以真實情境或生活情境的應用來設計卡片內容（例如「商品打折」、「速率與時間」、「工程分工」等），就能讓學生將數學公式應用於真實案例中。

六、小結

卡牌配對遊戲本身就隱含了洗牌（排列）、機率、記憶策略等數學概念；若進一步把配對內容設計成「數學題目 ↔ 答案」，就能讓學生在遊戲中一邊解題、一邊翻牌。
不同階段的學生可搭配不同難度的題型；從基礎算術到方程式、到幾何應用，都能在此遊戲中找到自己的挑戰。
若要再往程式開發與數學分析前進，還能討論最佳策略、期望值、統計與機率等更深入的議題。

**透過簡單的卡牌遊戲，不僅能培養學生對程式設計的興趣，也能同時在翻牌過程中用到許多數學知識。**希望以上的分享能激發你更多的創意，將「遊戲」與「數學學習」做出有趣的結合！祝遊戲開發與數學探索都順利、有趣。

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